空中のへや

このサイトで「空中のへや」と言えば、盤面の辺に触れていないへやのことを指す。

表は、入る黒マスの数の最大値(MX値)

超へやわけMXについて
超へやわけMX(外部サイト)では、以下と同値の事実が示されている。
すなわち、MX値は以下の通り。ただしfloor[X]でXの小数点以下切り捨ての値を表す。
1xnのへや: MX=floor[(n+1)/2]
3xnのへや: nが4の倍数なら MX=5n/4
それ以外の時 MX=floor[5(n+1)/4]
nxnで、非負整数kでn=2^k-1と書けるときのへや(n=1,3を含む): MX=((n+1)(n+1)-1)/3
以上のいずれも満たさない場合で、
nxmのへや: nもmも奇数なら MX=floor[((n+1)(m+1)-2)/3]
   それ以外のとき MX=floor[((n+1)(m+1)-3)/3]
また、唯一解になるへやは、以下の3種類に限られることも導ける。ただしkは任意の非負整数。
[k+1]in[1]x[2k+1]
[5k]in[3]x[4k-1]
[(4^k-1)/3]in[2^k-1]x[2^k-1]

灰色部分は、そのMX値の黒マスを入れる際の解の数。

Page 1

2x2-2

3x2-3
3x3-4,5

4x3-5
4x4-7

5x3-7
5x4-9
5x5-11

Page 2 (2016/8/7)

6x3-8
6x4-[10]
6x5-[13]
6x6-[15]

7x3-10
7x7-21

8x4-14

15x15-85

6x4-[10]など、[]で囲まれているものは掲載していない。中の数字はMX値。

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