空中のへや

このサイトで「空中のへや」と言えば、盤面の辺に触れていないへやのことを指す。

表は、入る黒マスの数の最大値(MX値)
F 3 4 5 6 7 8 9 10
3 5 5 7 8 10 10 12 13
4 5 7 9 10 12 14 15 17
5 7 9 11 13 15 17 19 21
6 8 10 13 15 17 20 22 24
7 10 12 15 17 21 23 26 28
8 10 14 17 20 23 26 29 32
9 12 15 19 22 26 29 32 35
10 13 17 21 24 28 32 35 39

超へやわけMXについて
超へやわけMX(外部サイト)では、以下と同値の事実が示されている。
すなわち、MX値は以下の通り。ただしfloor[X]でXの小数点以下切り捨ての値を表す。
1xnのへや: MX=floor[(n+1)/2]
3xnのへや: nが4の倍数なら MX=5n/4
それ以外の時 MX=floor[5(n+1)/4]
nxnで、非負整数kでn=2^k-1と書けるときのへや(n=1,3を含む): MX=((n+1)(n+1)-1)/3
以上のいずれも満たさない場合で、
nxmのへや: nもmも奇数なら MX=floor[((n+1)(m+1)-2)/3]
   それ以外のとき MX=floor[((n+1)(m+1)-3)/3]
また、唯一解となるのは以下のへやに限ることも導ける。ただしn,mは任意の正の整数。
[m*(4^n-1)/3]in[2^n-1]x[(2^n)*m-1]

灰色部分は、そのMX値の黒マスを入れる際の解の数。

F 3 4 5 6 7 8 9 10
3 5 1 5 1 7 4 8 6 10 1 10 53 12 7 13 10
4 5 14 7 4 9 2 10 20 12 6 14 2 15 30 17 8
5 7 4 9 2 11 10 13 2 15 19 17 2 19 30 21 2
6 8 6 10 20 13 2 15 8 17 86 20 4 22 20 24 116
7 10 1 12 6 15 19 17 86 21 1 23 4 26 14 28 90
8 10 53 14 2 17 2 20 4 23 4 26 4 29 10 32
9 12 7 15 30 19 30 22 20 26 14 29 10 32 1604 35
10 13 10 17 8 21 2 24 116 28 90 32 35 39


Page 1

2x2-2

3x2-3
3x3-4,5

4x3-5
4x4-7

5x3-7
5x4-9
5x5-11

Page 2 (2016/8/7)

6x3-8

7x3-10
7x7-21

8x4-14

15x15-85

Page 3

2xn-n
4x[3n+2]-5n+4
5x[2n+2]-4n+5
6x[2,5,8]-6,13,20


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