角p4

角p5

十分大きなサイズについて、MX値個の黒マスを入れた具体的な例を示します。
たてよこ共に十分大きければ、MX値2に示した

上限: ((2n+1)(2m+1)+k)/12
ただし、k=3(n,mが奇数),1(n,mが奇数と偶数),-1(n,mが偶数と偶数)

の小数点以下切り捨てがそのままMX値になると予想しています。

現在、以下のサイズで上限切り捨て=MX値となることが示されています。いずれも複数解です。

たてよこをそれぞれn,m(n,mはともに1,2,3,5以外の自然数)とし、mod 6 で、
n,m
5,5 
3,3 
偶数,1 
奇数,4  
偶数,4 
2,0 
0,3
3,5 
2,5

以下、上限の数だけ黒マスを入れる、解の構成法を述べます。

n,m 5,5 (mod 6)

図は11x11です。


これは最大限黒マスが入っています。斜め反転できるので、唯一解でないことも分かります。

さらに、「右に6マス」追加して、11x17を構成できます。緑は消した黒マスです。

こうしてもよいです。

更に、「下に6マス」追加することもできます。


よって、n,mがともに「11以上、6で割ったあまりが5」のとき、
上限の数だけ黒マスを入れた状態を具体的に構築できます。

n,m 3,3 (mod 6)

図は9x9です。


5,5と同様の議論で、n,mがともに「9以上、6で割ったあまりが3」のとき、
上限の数だけ黒マスを入れた状態を具体的に構築できます。

n,m
4,1
0,1
2,1

よこ4,たて7に、上限通り入っています。


これは右に2マス伸ばしても、上限通り入れる配置が存在します。


「右に2マス」をさらに繰り返せます。



また、「下に6マス」も可能です。



「下に6マス」の操作の後に、「右に2マス」をすることも可能です。
よって、たてが7,13,19,...、よこが4,6,8,...のとき、
上に示した「右に2マス」「下に6マス」を繰り返すことで、具体例を構成できます。
また、左端2行を除いた部分は、左右反転可能なので、いずれも複数解です。



n,m
1,4, 3,4, 5,4

たて7, よこ10です。上で挙げた「たて7,よこ4」から「右に2マス」*3回をしたものです。


よこ10のとき、「下に2マス」が可能です。


さらに「下に2マス」。


また、「右に6マス」も可能。


「右に6マス」の操作の後に、「下に2マス」をすることも可能です。
さらに、よこ4、たて7から、「下に2マス」も可能なので、
たてが7,9,11,...、よこが4,10,16,...のとき、
上に示した「下に2マス」「右に6マス」を繰り返すことで、具体例を構成できます。
また、左端2行を除いた部分は、左右反転可能なので、いずれも複数解です。

n,m 偶数,4

上の例と同様です。4x4から始めて、

「右に2マス」が可能です。

「右に2マス」を任意の回数行った後、「下に6マス」が可能です。

また、スタートの4x4の配置を変えても、同様に広げられるので、複数解です。



n,m 2,0

たて14, よこ12です。

右に6マス(緑は消したマス)です。

下に6マス(緑部分が追加したところ)です。

緑の6行をよく見ると、そのすぐ上の6行と全く同じなので、
「たて8、よこ12」から始めて構成できます。(右は別解)

また、市松模様のもう一方に黒マスがある別解もあります。

他にも、たて8、よこ6から始める構成も複数あります。




n,m 0,3
たて6、よこ9です(右は別解)。右6、下6に拡大できます。




n,m 3,5
たて9、よこ11です。右6、下6に拡大できます。





n,m 2,5
たて8、よこ11です(右は別解)。右6、下6に拡大できます。










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